Obbligazioni e BTP sono strumenti familiari, ma poche decisioni d’investimento richiedono altrettanta disciplina nel leggere yieldcurva dei tassiduration e convexity. Interpretare correttamente questi indicatori significa capire quanto il prezzo si muoverà al variare dei rendimenti e quanto pesa il rischio di reinvestire le cedole in scenari di mercato diversi.
L’obiettivo è fornire una cassetta degli attrezzi operativa: definizioni mirate, passaggi numerici e un foglio di calcolo modello per stimare sensibilità ai tassi, impatto delle cedole e confronto tra BTP di scadenze diverse. La struttura passo-passo consente di trasformare concetti teorici in valutazioni pratiche, con esempi che evidenziano sia il rischio di prezzo sia il rischio di reinvestimento.
Yield e prezzo: legame diretto e primo esempio numerico
Il rendimento a scadenza (yield to maturity) è il tasso che attualizza tutti i flussi di un titolo al prezzo corrente. Quando lo yield sale, il prezzo scende. Esempio: BTP nominale 100, cedola annua 3% (3 euro), scadenza 5 anni. Se il rendimento di mercato passa dal 3% al 4%, il prezzo approssimativo scende sotto 100. Con calcolo puntuale (sconto delle cedole e del rimborso al 4%), il prezzo si attesta intorno a 95,5–96,5, a seconda della frequenza cedolare. Questo scarto riflette l’allineamento del titolo alla nuova curva dei tassi.
Per un BTP identico ma con cedola 1% (1 euro), la discesa di prezzo è più ampia a parità di shock di rendimento, perché più valore è concentrato nel rimborso finale. È il primo indizio operativo: più cedola bassa e scadenza lunga implicano maggiore sensibilità ai movimenti dei tassi, misurabile con duration.
Curva dei tassi: pendenza, forma e implicazioni operative
La curva dei tassi mette in relazione scadenze e rendimenti. Una curva ripida (lunghi più alti dei brevi) remunera l’allungamento di durata; una curva inversa (brevi più alti dei lunghi) segnala attese di ribasso dei tassi o premio di liquidità sui brevi. Operativamente, nel confronto tra due BTP, contano i rendimenti per scadenza (spot o forward) e non un singolo tasso medio.
Esempio: se 2 anni = 3,1% e 10 anni = 3,9%, la pendenza è 0,8%. Passare da un BTP 2 anni a un 10 anni aggiunge rendimento, ma anche rischio di prezzo. Se invece 2 anni = 4,2% e 10 anni = 3,5%, la curva è invertita: allungare potrebbe offrire meno carry ma più potenziale di guadagno prezzo se i tassi lunghi scendono. La scelta si ancora a duration e convexity che quantificano quanto pesa il movimento dei tassi sul prezzo.
Duration: misurare la sensibilità al tasso in modo operativo
La duration di Macaulay è la media temporale dei flussi pesata, mentre la duration modificata approssima la variazione percentuale del prezzo per un punto di rendimento. Formula operativa: ΔP% ≈ − Duration × ΔYield. Esempio: BTP 7 anni con duration 6,2. Se lo yield sale di 0,50% (0,005), il prezzo scende di circa 6,2 × 0,005 = 3,1%. Su 100, la perdita attesa è ~3,1 euro, al netto di convexity.
Confronto numerico: BTP 3 anni, duration 2,7; shock +1,00% → ΔP% ≈ −2,7%. BTP 15 anni, duration 12,0; shock +1,00% → ΔP% ≈ −12,0%. La bussola operativa è chiara: a parità di shock sui tassi, più duration equivale a maggior volatilità del prezzo. Per scelte tattiche, duration breve riduce il rischio di tasso; per scommesse su ribassi dei rendimenti, duration lunga amplifica i guadagni potenziali.
Convexity: correggere l’approssimazione e leggere movimenti non lineari
La convexity misura la curvatura prezzo–rendimento e corregge l’approssimazione lineare della duration. Regola operativa: ΔP% ≈ − Duration × ΔYield + 0,5 × Convexity × (ΔYield)^2. Esempio: BTP 10 anni con duration 8,5 e convexity 90. Con shock +1,00%, correzione convexity = 0,5 × 90 × 0,01^2 = 0,5 × 90 × 0,0001 = 0,45%. Quindi la perdita attesa si riduce da −8,5% a circa −8,05%.
Con tassi in forte movimento, la convexity diventa rilevante: titoli più lunghi e a cedola bassa hanno convexity più alta, attenuando le perdite quando i tassi salgono e migliorando i guadagni quando scendono. È un cuscinetto non simmetrico, utile per valutare portafogli con focus sulle scadenze lunghe dei BTP.
Rischio di reinvestimento: quanto valgono davvero le cedole
Il rischio di reinvestimento nasce dal tasso a cui si potranno reinvestire le cedole. Esempio: BTP 8 anni, cedola 4% su 100 (4 euro l’anno), yield iniziale 4%. Caso A: i tassi restano al 4%, cedole reinvestite al 4%; valore futuro (somma composti) coerente con lo yield iniziale. Caso B: i tassi scendono al 2% dopo due anni; le cedole future si reinvestono al 2% e il montante a scadenza è inferiore di qualche punto percentuale rispetto al caso A, pur con prezzo che nel frattempo sale.
Approccio pratico: per orizzonti lunghi e cedole elevate, il reinvestimento incide in modo sensibile sul rendimento realizzato. Titoli a cedola bassa riducono il rischio di reinvestimento ma aumentano l’esposizione a movimenti dei tassi via duration. La composizione del portafoglio BTP dovrebbe bilanciare queste forze in base all’orizzonte temporale e alla propensione al rischio.
Foglio di calcolo modello: impostazione e formule base
Struttura minima consigliata per un modello in foglio di calcolo: colonne A–H per un singolo titolo. A: Data flusso B: Importo cedola C: Rimborso D: Flusso totale (=B+C); E: Fattore di sconto [=1/(1+y)^(t) con t in anni]; F: Valore attuale (=D×E); G: Peso (=F/somma F); H: Tempo in anni. La duration di Macaulay = somma(G×H). La duration modificata = Macaulay/(1+y).
Calcolo convexity semplificata: somma[(F×H×(H+1))/((1+y)^2)] divisa per il prezzo; per cedole semestrali, usare H in periodi e adeguare y per periodo. Stima ΔP%: − Duration_mod × Δy + 0,5 × Convexity × (Δy)^2. Per il rischio di reinvestimento creare una tabella scenari con tassi di reinvestimento (r) e calcolare il montante delle cedole: FV_cedole = somma[B×(1+r)^(anni fino a scadenza)]. Combinare FV_cedole con il rimborso finale per stimare il rendimento realizzato (IRR su flussi effettivi).
Passi operativi per valutare un BTP con numeri
- Raccogli dati: prezzo, cedola, frequenza, scadenza, yield corrente per la scadenza.
- Costruisci i flussi: lista delle cedole e del rimborso; definisci i tempi in anni.
- Sconta i flussi con lo yield o con tassi per scadenza (curva); ottieni il prezzo teorico.
- Calcola duration Macaulay, duration modificata e convexity.
- Stressa i tassi: ±50 pb, ±100 pb; stima ΔP% usando duration+convexity.
- Simula reinvestimento: scenari r alti/bassi; calcola rendimento realizzato.
- Confronta alternative: BTP 3, 7, 15 anni; verifica carry, rischio tasso e reinvestimento.
Esempio rapido: BTP 7 anni, cedola 3,50%, prezzo 100, yield 3,50%. Duration ≈ 6,0; convexity ≈ 70. Shock +1,00% → ΔP% ≈ −6,0% + 0,5×70×0,01^2 = −6,0% + 0,35% = −5,65%. Su 100, prezzo atteso ≈ 94,35. Se le cedole si reinvestono al 1,5% invece che al 3,5%, il rendimento realizzato su 7 anni scende di alcuni decimi di punto percentuale, quantificabile con il modello.
